Как устроены солнечные и лунные затмения?

Встаньте в тень липы или клёна и посмотрите под ноги. Просветы между листьями любой формы — треугольные, щелевидные, с изгрызенным краем. А пятна света на дорожке круглые, все до одного.

Каждый просвет работает как камера-обскура: он не отпечатывает свою форму, а строит изображение источника — круглого солнечного диска. Размер пятна задан одной пропорцией: Солнце видно с Земли под углом в полградуса, а это значит, что пятно ровно в 107 раз меньше высоты просвета над землёй. С пяти метров получается кружок около пяти сантиметров.

Затмение собрано из тех же трёх вещей: источник, преграда, экран. Солнечное затмение — тень Луны на Земле. Лунное — тень Земли на Луне.

Что сделать. Сложите пальцы обеих рук решёткой и посмотрите на их тень: в перекрестьях появятся такие же круглые зайчики-солнца. Измерьте одно пятно под деревом и высоту просвета — отношение окажется около ста. Вы только что измерили угловой размер Солнца, ни разу на него не взглянув.

Картинку строит не дырка, а источник. Маленькое отверстие пропускает от каждой точки солнечного диска по узкому лучику. Дальше лучики летят по прямой и не смешиваются: луч от верхнего края диска уходит вниз, от нижнего — вверх. На земле они раскладываются в перевёрнутое изображение Солнца. Форма самого отверстия при этом не важна — оно только пропускает свет.

Большое окно тоже пропускает лучи, но от каждой точки Солнца проходит уже широкий пучок. Сотни сдвинутых изображений накладываются друг на друга и смазываются в сплошное светлое пятно. Работает именно маленькая дырка — та, что заметно меньше будущего изображения.

Одна пропорция, которая пригодится трижды. Диаметр Солнца 1,392 млн км, расстояние до него 149,6 млн км. Отношение:

$$\frac{d}{L}=\frac{1\,392\,000}{149\,600\,000}\approx\frac{1}{107}$$

Иначе говоря, любой предмет, видимый под углом в полградуса, ровно в 107 раз меньше расстояния до него. Отсюда и размер солнечного пятна под деревом, и всё, что будет дальше.

Тень Луны едва дотягивается до Земли. Лучи от противоположных краёв Солнца, скользнув по краям Луны, сходятся за ней под тем же углом в полградуса. Значит, конус полной тени сужается на километр за каждые 107 километров пути и сходит на нет через 107 лунных диаметров:

$$107\times 3\,474\ \text{км}\approx 372\,000\ \text{км}$$

Это и означает, что конус чуть длиннее среднего расстояния до Луны. А расстояние гуляет от 356 400 до 406 700 км: конус то дотягивается до земной поверхности, то нет. Дотянулся — по Земле бежит пятно полной тени шириной в одну-две сотни километров. Не дотянулся — Луна не может закрыть весь солнечный диск, и вокруг тёмного круга остаётся ослепительное кольцо. Вся разница между полным и кольцеобразным затмением — пятьдесят тысяч километров эллиптической орбиты.

Тень Земли щедрее, но худеет с тем же темпом. Километр ширины на каждые 107 километров пути. До орбиты Луны 384 400 км, за них тень теряет 384 400 / 107 ≈ 3 600 км, и из 12 742 км земного диаметра остаётся около 9 100:

$$12\,742-\frac{384\,400}{107}\approx 9\,100\ \text{км}$$

То есть тень Земли в два с половиной раза шире самой Луны и накрывает её целиком. Поэтому лунное затмение видно сразу со всей ночной половины планеты и длится часами, а не минутами.

При этом Луна не гаснет, а становится медной. Атмосфера Земли работает как слабая линза и заворачивает часть солнечных лучей внутрь конуса тени. Синий свет по дороге рассеивается воздухом — тот же процесс, что делает небо голубым, — а красный проходит насквозь. В полной фазе Луну освещают одновременно все закаты и рассветы Земли.

Где ещё та же схема. Свет, преграда, экран — это фотокамера, солнечные часы и человеческий глаз. По этой же геометрии впервые измерили мир: Аристотель заключил, что Земля — шар, потому что её тень на Луне всегда круглая, а Аристарх по ширине той же тени нашёл, что Луна примерно втрое меньше Земли. Современное значение — в 3,7 раза.

На чём стоит весь расчёт. Предположения ровно три, и все три — приближения:

1. Свет идёт по прямой, а тела считаются шарами с резким краем.
2. Солнце — диск постоянного углового размера в полградуса.
3. Атмосферы нет.

Дальше нужна только геометрия подобных треугольников. Ошибки каждого допущения разбираются ниже — и именно они дают всё, что не сводится к чистой тени.

Сколько это длится. Предельные значения посчитаны на тысячи лет вперёд. Полоса полной тени бывает шириной до 267 км, полная фаза солнечного затмения — до 7 минут 29 секунд; и то и другое приходится на затмение 16 июля 2186 года, крайний случай за одиннадцать тысячелетий¹. Полная фаза лунного затмения длится до 106 минут — в четырнадцать раз дольше, ровно потому, что земная тень в два с половиной раза шире Луны.

Почему затмение не каждый месяц. Лунная орбита наклонена к плоскости земной примерно на 5,15°. В большинстве новолуний Луна проходит выше или ниже Солнца, в большинстве полнолуний — мимо земной тени. Три тела встают в линию только вблизи узлов орбиты, и такие окна открываются дважды в год.

Есть и период повторения — сарос. Он держится на том, что три разных лунных месяца почти точно укладываются в один и тот же промежуток:

$$223\,M_{\text{син}}=6585{,}32\ \text{сут},\quad 242\,M_{\text{драк}}=6585{,}36\ \text{сут},\quad 239\,M_{\text{аном}}=6585{,}54\ \text{сут}$$

Читается это так: за 6585 с третью суток — 18 лет 11 дней и 8 часов — повторяется и фаза Луны, и её положение относительно узлов, и расстояние до Земли. Значит, повторяется и затмение. Лишняя треть суток разворачивает Землю на треть оборота, поэтому следующее затмение той же серии видно на 120° западнее.

Границы этого рассуждения. Чистая геометрия описывает не всё.

• Тень Земли больше геометрической. Атмосфера добавляет к эффективному диаметру планеты около 2 %, и без этой поправки моменты входа Луны в тень не сходятся с наблюдением². — Край Луны неровный. В последние секунды перед полной фазой солнечный свет пробивается через лунные долины отдельными точками — «чётки Бейли». Модель с резким краем этого не описывает. — Полутень не учтена вовсе. Там, где закрыт лишь край солнечного диска, никакого затмения глазом не заметить: света убывает на проценты, а зрачок подстраивается. — Правило «один к ста семи» — средняя величина. Угловой размер Солнца за год меняется от 31′28″ до 32′32″, лунного диска — от 29,4′ до 33,5′. Именно на этой разнице и держится деление затмений на полные и кольцеобразные.

О чём спорят. Насколько именно атмосфера расширяет земную тень, единого мнения нет до сих пор. Данжон предложил увеличивать диаметр Земли на 1/85, то есть на 1,18 %; из покрытий лунных кратеров во время затмения июля 1982 года выходит 2,1 %, а через полгода на похожем событии — 1,7 %. Расхождения от затмения к затмению воспроизводятся, но объяснения им пока нет².

Открытый вопрос. Записи древних затмений — единственный способ узнать, как менялась скорость вращения Земли за три тысячи лет. Из них выходит, что средние солнечные сутки удлиняются на 1,8 мс за век. А приливное торможение Луной должно давать 2,3 мс за век. Разницу списывают на перераспределение массы планеты после схода ледников, но точный баланс не сведён³.