Сколько дров съест тёплый дом?

Кирпичный дом 150 м², большая печь, на улице 12 °C днём и 6 °C ночью. Сколько дров нужно, чтобы двое суток держать дома 20 °C?

Около 88 кг сухих дров по расчёту, практически — около 100 кг с запасом, то есть примерно 0,20–0,25 складочного кубометра. Для хорошо утеплённого дома хватит 50–60 кг, продуваемому старому понадобится 120–140 кг.

На первый взгляд это задача про теплотворность дров. На самом деле главное неизвестное здесь другое: насколько быстро дом теряет тепло. Одной площади пола недостаточно — точного ответа из условия нет вовсе. Зато можно построить простую модель, все допущения которой видны и легко заменяются своими числами. И у этой модели есть неожиданный побочный вывод: тяжёлый кирпичный дом, если перестать топить, остывает с 20 °C всего до 15 °C за сутки.

Как превратить дом в одну формулу — и куда в ней входит печь объёмом пять кубометров?

Предположения модели явным списком: 150 м² — суммарная площадь двух этажей, то есть пятно застройки около 75 м² (план 10 × 7,5 м, высота наружных стен 6 м, фасады — 210 м²); окна занимают 15 % фасада; стена — кладка в два кирпича, 51 см, без наружного утепления; воздух в доме обновляется наполовину за час.

Для красного кирпича теплопроводность $\lambda \approx 0{,}69$ Вт/(м·К)¹. Тогда с поверхностными сопротивлениями стена пропускает

$$U_{\text{wall}} \approx \frac{1}{0{,}13 + 0{,}51/0{,}69 + 0{,}04} \approx 1{,}10 \ \text{Вт/(м}^2\cdot\text{К)}.$$

Остальные коэффициенты — не константы природы, а параметры типовой модели: окна с двойным остеклением в старых рамах — 2,5 (одинарное стекло дало бы все 5), чердачное перекрытие с засыпкой — 0,5, пол — 0,6 Вт/(м²·К). Все теплопотери удобно собрать в один коэффициент $H$: если внутри на градус теплее, чем снаружи, дом теряет мощность $H$ ватт.

$$H \approx 0{,}433\ \text{кВт/К}.$$

Это главное число всей задачи. Средняя уличная температура при равных дне и ночи — 9 °C, значит, за двое суток дом отдаст $Q = H\,(20-9)\cdot 48 \approx 228$ кВт·ч.

Дальше — дрова. Подсушенные дрова влажностью около 20 % дают при сгорании около 4,0 кВт·ч/кг (это низшая, рабочая теплота — часть энергии уносит испаряемая влага)², а большая кирпичная печь доносит до комнат примерно 65 % этой энергии — оценка консервативная, паспортные КПД теплоёмких печей 70–80 %. Полезной остаётся 2,6 кВт·ч с килограмма, и

$$m = \frac{228}{0{,}65 \cdot 4{,}0} \approx 88\ \text{кг}.$$

Запас в 10–15 % нужен из-за ветра, неодинаковых поленьев, открывания дверей и колебаний КПД — отсюда практические 100 кг. «Стандартного полена» в физическом смысле нет: два одинаковых по длине полена различаются по массе почти вдвое, поэтому считать надо в килограммах.

А зачем тогда печь объёмом 5 м³? Она почти не меняет количество энергии, которое должно попасть в дом, но радикально меняет график её поступления. В кладке около 5,4 тонны кирпича; остывая на 50 °C, она отдаёт порядка 63 кВт·ч — почти столько, сколько дом теряет за одну холодную ночь (73 кВт·ч). Массивная печь — это аккумулятор: она превращает короткую жаркую топку в многочасовую спокойную теплоотдачу.

Где работает тот же закон? Всюду, где тепло запасают массой: чугунная сковорода «держит жар» после снятия с огня, тепловые аккумуляторы в котельных делают то же самое тоннами воды, а толстостенный заварочный чайник греют кипятком перед заваркой — предварительная «топка» той же физики.

Где перестаёт работать. Расчёт относится к дому, который уже прогрет. Если дом, стены и печь изначально холодные, нужно сначала нагреть несколько десятков тонн материала — стартовый расход топлива может оказаться сопоставим со всем двухсуточным.

Что будет с температурой, если перестать топить, — и как узнать честный ответ для своего дома без единой справочной таблицы?

Пусть вся внутренняя масса дома имеет температуру около 20 °C, а печь больше не даёт тепла. В простейшей «сосредоточенной» модели

$$C\,\frac{dT}{dt} = -H\,(T - T_{\text{out}}),$$

где $C$ — эффективная теплоёмкость здания. Словами: скорость остывания пропорциональна разности температур — тёплый дом на морозе теряет градусы быстро, едва остывший — еле-еле. При постоянной наружной температуре решение школьно красивое:

$$T(t) = T_{\text{out}} + (T_0 - T_{\text{out}})\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = \frac{C}{H}.$$

Иначе говоря, дом остывает не «на столько-то градусов в час», а по экспоненте: чем меньше разность температур, тем медленнее дальнейшее остывание.

Но чему равно $C$? За сутки успевает прогреться и остыть не вся толщина массивной стены. Для периодического процесса характерная глубина проникновения тепла $\delta \sim \sqrt{\alpha P/\pi}$, где $\alpha = \lambda/\rho c$ — температуропроводность. Для кирпича $\alpha \approx 4{,}6\cdot 10^{-7}$ м²/с, и при периоде 24 часа $\delta \approx 0{,}11$ м — работает только дециметровый внутренний слой. Собирая активные слои наружных стен, внутренние стены, перекрытия, мебель и часть печи, для оценки берём $C_{\text{eff}} \approx 18$ кВт·ч/К. Тогда

$$\tau \approx \frac{18}{0{,}433} \approx 42\ \text{часа}.$$

То есть за 42 часа разность температур с улицей падает в $e \approx 2{,}7$ раза — почти двое суток на одно «съёживание» перепада. Если начать утром с 20 °C и больше не топить (12 °C днём, 6 °C ночью, формула кусочно по 12 часов, $e^{-12/42}\approx 0{,}75$):

Тяжёлый дом сглаживает суточные скачки наружной температуры — в этом и смысл «дом держит тепло». Эффективную теплоёмкость зданий оценивают по-разному: наша «сосредоточенная» модель — сознательное огрубление, она не учитывает, что стены остывают неравномерно (внутренний слой быстро, толща — медленно), поэтому строгий расчёт даёт не одну экспоненту, а сумму нескольких. Но для оценки это не страшно: если $C_{\text{eff}}$ окажется не 18, а 12–25 кВт·ч/К, постоянная времени будет 28–58 часов, а температура через двое суток — 10,4–13,6 °C. Оценка устойчива по порядку величины.

Почему ответ не один. Самый чувствительный параметр — не объём печи, а $H$, качество оболочки дома:

Поэтому бытовая фраза «дом 150 квадратов» для теплотехника почти так же неполна, как «автомобиль массой две тонны» для оценки расхода топлива: нужны сопротивление движению, режим и эффективность двигателя.

Проверяемый вопрос. Вся оценка сводится к трём величинам — $H$, КПД $\eta$ и теплоте сгорания $q$:

$$m = \frac{H\,\Delta t\,(T_{\text{in}} - \overline{T}_{\text{out}})}{\eta q}.$$

Читается так: масса дров — это всё утёкшее из дома тепло, делённое на полезную теплоту одного килограмма. Для наших двух суток она превращается в $m \approx 203\,H$ кг — измерение одного $H$ снимает главную неопределённость. И его правда можно измерить. В спокойную погоду поддерживайте несколько часов постоянную температуру электрообогревателями известной суммарной мощности $P$ (печь в это время не должна заметно греть дом). В установившемся режиме $H \approx P/(T_{\text{in}} - T_{\text{out}})$: если при разности 10 К дом держится на 4,0 кВт, то $H \approx 0{,}40$ кВт/К — почти как в модели. А опыт со свободным остыванием даёт постоянную времени без всякой теплопроводности стен: $\tau = -\Delta t \,/\, \ln[(T_2 - T_{\text{out}})/(T_1 - T_{\text{out}})]$. Так оценочная задача превращается в маленький физический эксперимент над собственным домом.