Почему пчелиные соты имеют форму шестиугольников?

Под крышей беседки у тропы летом висит осиное гнездо, а в дупле старой липы живут дикие пчёлы. Материалы разные: осы жуют древесину в бумагу, пчёлы выделяют воск. Но ячейки у тех и других — правильные шестиугольники, сложенные без зазоров, стенка к стенке. Круглые ячейки были бы проще: личинка круглая, и кокон круглый. Почему шесть углов?

Потому что стенка — это расход. Воск пчела делает из мёда: на килограмм воска уходит несколько килограммов мёда, то есть недели работы тысяч сборщиц. Улью нужно разложить плоскость на равные ячейки заданной площади так, чтобы суммарная длина стенок была наименьшей. Круги не годятся: между ними остаются пустоты, а там, где две ячейки соприкасаются, стенка двойная. Без зазоров плоскость замощают только три правильных фигуры: треугольник, квадрат и шестиугольник. При равной площади у шестиугольника периметр короче: на 7 % меньше, чем у квадрата, и на 18 % меньше, чем у треугольника. А поскольку соседние ячейки делят стенку, экономия удваивается по площади: на тот же мёд — больше детей.

Что шестиугольная сетка лучше любой другой — не только правильной, но и с кривыми стенками, — математики подозревали со времён античности и доказали лишь в 1999 году.

Что сделать. Найдите под навесом покинутое осиное гнездо и посчитайте, сколько стенок сходится в каждом узле: всегда три, и углы между ними по 120°. Это и есть подпись минимума: у пены, у трещин на высохшей грязи, у базальтовых столбов узлы тоже тройные.

Задача. Разбить плоскость на ячейки площади $A$ так, чтобы длина границ на единицу площади была наименьшей. Для правильных многоугольников ответ считается в одну строку: у квадрата площади $A$ периметр $4\sqrt{A}$, у правильного треугольника $4{,}56\sqrt{A}$, у правильного шестиугольника $3{,}72\sqrt{A}$. Чем ближе фигура к кругу, тем короче её граница при той же площади, а шестиугольник — самый «круглый» из тех, что укладываются без щелей.

1. периметр одной ячейки при равной площади
2. треугольник: 4,56√A
3. квадрат: 4√A
4. шестиугольник: 3,72√A, без щелей
5. круг: 3,54√A, но щели

Предположения, стоящие за картиной:

1. Ячейки одинаковой площади: личинки рабочих пчёл одного размера.
2. Стенки общие: экономится не периметр одной ячейки, а сеть в целом.
3. Материал дорог: чем меньше воска на ту же вместимость, тем лучше.

Дно ячейки. Соты двусторонние: два слоя ячеек упираются друг в друга донышками. Дно не плоское, а из трёх ромбов, сложенных пирамидкой, и ромбы двух сторон вставлены друг в друга со сдвигом. Углы ромба — 70°32′ и 109°28′; французский астроном Маральди измерил их в 1712 году, а через четверть века математик Кёниг показал, что именно такие углы дают наименьшую поверхность дна при заданном объёме. Иначе говоря, пчела экономит воск не только на стенках, но и на дне, и решает при этом задачу, которую человек решил через тысячи лет после неё.

Проверьте сами. Насыпьте в блюдце мыльной пены и посмотрите на неё сверху: пузыри одного размера складываются в шестиугольники, узлы тройные, углы по 120°. Пена не считает, она уменьшает поверхность плёнок — и приходит к тому же ответу.

Тот же принцип в других местах. Шестиугольные сетки в природе — след минимальной границы: пена, трещины усыхания на глине, базальтовые столбы Мостовой гигантов, фасетки глаза стрекозы, сетчатка. В технике — сотовые панели самолётов и спутников (лёгкие и жёсткие), сетки сотовой связи (одна вышка — один шестиугольник, отсюда и слово «сотовая»), графен. И обратный пример: круглые ячейки у одиночных пчёл-осмий, которые строят не сеть, а отдельные трубки, — там делить стенку не с кем и экономить нечего.

Формула. Для правильного $n$-угольника площади $A$ периметр

$$P = 2\sqrt{n\,A\,\tan\frac{\pi}{n}}$$

модель

и с ростом $n$ он падает: $n = 3$ даёт $4{,}56\sqrt{A}$, $n = 4$ — $4\sqrt{A}$, $n = 6$ — $3{,}72\sqrt{A}$, а круг ($n \to \infty$) — $3{,}54\sqrt{A}$. Иначе говоря, шестиугольник отстаёт от круга всего на 5 %, но, в отличие от круга, покрывает плоскость без пустот; семиугольники и выше без щелей не укладываются. Для сота из $N$ ячеек общая длина стенок — половина суммы периметров, потому что каждая стенка общая: $L \approx 1{,}86\sqrt{A}\,N$.

Гипотеза о сотах. Что среди правильных фигур шестиугольник лучший, знал ещё Папп Александрийский около 320 года. Но правильными фигурами задача не исчерпывается: стенки могут быть кривыми, ячейки — разными. Утверждение, что никакое разбиение плоскости на области равной площади не даёт границы короче шестиугольной сетки, — «гипотеза о сотах» — держалось без доказательства шестнадцать веков и было доказано Томасом Хейлсом в 1999 году, тем же математиком, что за год до этого закрыл гипотезу Кеплера об укладке шаров¹. Дно ячейки оказалось интереснее: в 1964 году Ласло Фейеш Тот показал, что пчелиное дно из трёх ромбов — не лучшее; дно из двух шестиугольников и двух ромбов экономит ещё 0,035 % воска. Пчёлы «не знают» этого — и, видимо, правильно: выигрыш меньше, чем разброс толщины стенки².

Пчела не считает. Как насекомое без циркуля строит правильный шестиугольник с точностью до долей миллиметра? Долго считалось, что пчёлы измеряют углы; в 1960-х Мартин и Линдауэр показали, что толщину стенки — около 0,07 мм — пчела контролирует антеннами, нажимая на стенку и слушая её упругость. А форму, возможно, делает не пчела, а воск: в 2013 году Карихалу с коллегами сфотографировали свежие ячейки — они круглые, и лишь потом, когда пчёлы прогревают воск до ~45 °C и он размягчается, стенки между тремя соседними ячейками стягиваются в плоские перегородки под 120°, как плёнки пены. По этой картине шестиугольник — итог физики воска, а пчела только ставит круглые заготовки на нужном расстоянии³.

Границы этого рассуждения.

• Ячейки не все равны. Трутнёвые ячейки крупнее рабочих (диаметр ~6,9 мм против ~5,4), маточники вообще круглые и висят отдельно; на стыке размеров пчёлы вставляют пяти- и семиугольники.
• Минимум стенок — не единственная цель. Соты должны держать вес мёда, отводить тепло, давать пчёлам ходить по ним; шестиугольник хорош и по прочности, но оптимум по каждому критерию свой.
• Аналогия с пеной неполная. У пены нет двух слоёв со сдвинутыми донышками; дно сот — решение задачи, которой у пены нет.
• Гипотеза Хейлса — про плоскость. В трёх измерениях лучшая пена неизвестна: структура Уэйра — Фелана 1994 года побила гипотезу Кельвина, но её оптимальность не доказана.

О чём спорят. Кто делает шестиугольник — пчела или воск? После работы Карихалу часть энтомологов возразила: в 2016 году показали, что при выключенном нагреве, в остывшем улье, пчёлы всё равно строят шестиугольники, а осы делают их из бумаги, которая не течёт; значит, поведение важнее физики. Сторонники «пенной» модели отвечают, что пчела может использовать оба пути. Единого мнения нет, и спор о том, где здесь инстинкт, а где термодинамика, продолжается⁴.

Открытый вопрос. Откуда пчела знает, где поставить следующую ячейку, чтобы сетка сошлась? Соты тянут одновременно десятки пчёл с разных сторон, а стыки сходятся почти без дефектов. Как локальные правила отдельных строительниц дают правильную решётку в целом, — задача из той же области, что и муравьиная тропа, и алгоритм её пока не записан.