Что показывают изолинии?

Откройте карту тропы: по склонам над Свиягой идут тонкие коричневые линии, местами редкие, местами сбитые в частую гребёнку. Высоты подписаны только на некоторых. Тем не менее по карте сразу видно, где идти легко, а где придётся карабкаться. Линии не рисуют склон — они рисуют высоту, и склон получается сам.

Каждая такая линия — горизонталь — проходит через точки одной высоты: 120 м, 125 м, 130 м. Если бы вода поднялась ровно до 125 м, её берег лёг бы точно по этой линии. Идти вдоль горизонтали — идти по ровному; идти поперёк — набирать высоту. Между соседними линиями всегда одна и та же разница высот, скажем 5 м (на карте выше — 10 м). Значит, где линии тесно — те 5 м набираются на коротком отрезке, и склон крут; где редко — те же 5 м растянуты на сотню метров, и склон пологий. Иначе говоря, густота линий — это и есть крутизна, а карта из линий равной высоты становится картой уклонов, ничего не добавляя.

Та же идея работает для чего угодно, что меняется от места к месту: изобары на карте погоды — линии равного давления, изотермы — равной температуры, изобаты — равной глубины. Читаются они одинаково: где линии густо, там резкий перепад, и там ветер, течение или обрыв.

Что сделать. Возьмите карту тропы и найдите участок, где горизонтали сближаются сильнее всего. Пройдите его и посчитайте, сколько горизонталей пересекли за сто шагов. Потом то же — на пологом месте. Ваши ноги посчитают то, что карта показывала заранее.

Три правила чтения. Горизонтали не пересекаются: в одной точке не может быть двух высот. Они замыкаются: каждая линия либо обходит вершину или впадину кольцом, либо уходит за край карты. И они всегда перпендикулярны направлению самого крутого спуска: вода, пущенная на склон, потечёт поперёк горизонталей, и по карте можно проследить, куда уйдёт ручей и где пройдёт водораздел — гребень, по которому горизонтали выгибаются в обратную сторону.

1. исток в ложбине, ниже вершины
2. редко — полого
3. густо — круто →
4. срезы через каждые 5 м высоты
5. ручей идёт поперёк горизонталей

Предположения, стоящие за картиной:

1. Высота — гладкая функция места: без обрывов, нависаний и скачков.
2. Сечение — шаг между соседними линиями — одно на всю карту.
3. Между линиями склон меняется плавно: то, что происходит между ними, карта не показывает.

Вершина, впадина, седло. Кольцо, внутри которого линии становятся всё выше, — гора; кольцо, внутри которого ниже, — котловина, и картографы ставят на её линиях штрихи-бергштрихи в сторону понижения, иначе не отличить. А место, где две горы и две долины встречаются крестом, — седло, перевал: самая низкая точка на гребне и самая высокая на пути через него. По горизонталям все три формы читаются без единой цифры.

Проверьте сами. Нарисуйте на бумаге холм из вложенных колец и капните на карту воображаемую каплю где угодно: она должна пересечь каждую линию под прямым углом. Потом сделайте то же на настоящей карте Свияги — и вы увидите, что ручьи на ней идут именно так, а сеть речек — след перпендикуляров к горизонталям.

Тот же принцип в других местах. На карте погоды ветер дует не поперёк изобар, от высокого давления к низкому, а почти вдоль них — Земля вращается, и поток закручивается; чем гуще изобары, тем сильнее ветер, и штормовое предупреждение — это тесные кольца на карте. Изотермы показывают, что «на одной широте» не значит «одинаково тепло». Изохроны на карте транспорта — линии равного времени в пути; изогоны — равного магнитного склонения, они и были первыми изолиниями в истории. И вне географии: линии равной высоты на детали в чертеже, линии равного потенциала вокруг заряда, линии равной стоимости на графике экономиста — всё та же карта.

Определение и градиент. Пусть высота задана функцией $h(x, y)$. Изолиния уровня $c$ — множество точек, где $h(x,y) = c$. Направление самого быстрого роста высоты — градиент

$$\nabla h = \left(\frac{\partial h}{\partial x},\ \frac{\partial h}{\partial y}\right)$$

модель

и он всегда перпендикулярен изолинии: вдоль линии высота не меняется, значит, вся скорость изменения приходится на поперечное направление. Длина градиента — крутизна: при сечении $\Delta h$ и расстоянии между соседними линиями $\Delta s$ уклон равен $\Delta h / \Delta s$. Иначе говоря, карта с горизонталями — это график функции двух переменных, спроецированный на плоскость, а густота линий — модуль её производной. Для топографической карты масштаба 1:25 000 сечение 5 м; если линии идут через 2 мм на карте — это 50 м на местности, уклон 0,1, то есть 6°; через 0,5 мм — уклон 0,4, 22°, тропа уже требует зигзага.

Кто открыл. Первые изолинии нарисовал Эдмунд Галлей в 1701 году: на карте Атлантики он соединил точки одинакового магнитного склонения, чтобы штурманы могли поправлять компас. Глубины моря линиями впервые показал Филипп Бюаш в 1752 году на карте Ла-Манша, а сушу — Марселен Дюкарла в 1771-м: он предложил рисовать берег, каким бы он был, если бы море поднялось на заданную высоту, и повторять это для каждого уровня — ровно то определение, что дано выше. Александр Гумбольдт в 1817 году провёл по карте мира изотермы и впервые показал, что климат зависит не только от широты. В России горизонтали вошли в топографию с 1840-х, а трёхвёрстная карта Европейской России XIX века ещё рисовала рельеф штрихами: горизонтали требуют измеренных высот, а штрихи — только глазомера¹.

Почему линии не пересекаются. Это не соглашение картографов, а свойство функции: в точке одна высота. Пересечься горизонтали могут только там, где карта перестаёт быть графиком функции — у нависающей скалы, где над одной точкой плана две поверхности; такие места рисуют отдельным знаком. И обратно: если на карте две линии одного уровня подходят вплотную и сливаются, это значит, что склон отвесен и на масштабе карты обрыв.

Границы этого рассуждения.

• Изолинии — интерполяция. Между измеренными точками высоты домысливают; на старых картах линии проведены между редкими отметками, и мелкие формы рельефа на них не существуют.
• Сечение прячет форму. Курган высотой 3 м на карте с сечением 5 м может не попасть ни в одну линию; для равнины рисуют полугоризонтали пунктиром.
• Не всякая величина имеет изолинии. Их можно провести только для непрерывного поля; для дискретных данных (население по районам) карта из изолиний — обман: между двумя городами нет «полугорода».
• Ветер вдоль изобар — только вдали от земли. У поверхности трение поворачивает его к низкому давлению на 20–40°.

О чём спорят. Картографы XX века спорили, что честнее для читателя: изолинии, дающие точные числа, или отмывка и штрихи, дающие образ рельефа с первого взгляда. Современные карты совмещают то и другое, но спор перешёл в цифровую форму: автоматически проведённые горизонтали по лазерной съёмке точнее ручных, но рисуют каждую кочку и колею и становятся нечитаемыми; какую часть правды убрать, чтобы карта читалась, — задача, которую алгоритмы решают хуже человека¹.

Открытый вопрос. Как устроены изолинии случайной поверхности? Если рельеф — случайная функция, то длина, извилистость и число замкнутых колец её горизонталей подчиняются законам, близким к законам перколяции; извилистость береговой линии с показателем около 1,25, замеченная Мандельбротом, — частный случай. Общая теория того, какие горизонтали получаются у какого случайного рельефа, построена лишь для простейших моделей, и для настоящего рельефа Земли ответа нет².